Evrenimizin düz, küresel veya hiperbolik şekli?

2024 Yazar: Seth Attwood | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-16 16:18

Bize göre evren sonsuzdur. Bugün Dünya'nın bir küre şeklinde olduğunu biliyoruz, ancak nadiren Evrenin şeklini düşünüyoruz. Geometride, "tanıdık" sonsuz uzaya alternatif olarak birçok üç boyutlu şekil vardır. Yazarlar, farkı en erişilebilir biçimde açıklar.

Gece gökyüzüne bakıldığında, uzay her yöne sonsuza kadar devam ediyor gibi görünüyor. Evreni böyle hayal ediyoruz - ama bunun doğru olduğu gerçeği değil. Sonuçta, herkesin Dünya'nın düz olduğunu düşündüğü bir zaman vardı: Dünya yüzeyinin eğriliği algılanamaz ve Dünya'nın yuvarlak olduğu fikri anlaşılmaz görünüyordu.

Bugün Dünya'nın bir küre şeklinde olduğunu biliyoruz. Ama nadiren evrenin şeklini düşünürüz. Küre, düz dünyanın yerini alırken, diğer üç boyutlu formlar "tanıdık" sonsuz uzaya alternatifler sunar.

Evrenin şekli hakkında iki soru sorulabilir - ayrı ama birbiriyle ilişkili olanlar. Biri geometriyle ilgili - açıların ve alanların titiz hesaplamaları. Bir diğeri topoloji ile ilgili: ayrı parçaların tek bir formda nasıl birleştiği.

Kozmolojik veriler, Evrenin görünen kısmının pürüzsüz ve homojen olduğunu göstermektedir. Mekanın yerel yapısı her noktada ve her yönde hemen hemen aynı görünüyor. Bu özelliklere yalnızca üç geometrik şekil karşılık gelir - düz, küresel ve hiperbolik. Şimdi sırayla bu şekillere, bazı topolojik değerlendirmelere ve kozmolojik verilere dayanan sonuçlara bir göz atalım.

düz evren

Aslında, bu okul geometrisidir. Bir üçgenin açılarının toplamı 180 derecedir ve bir dairenin alanı πr2'dir. Düz bir üç boyutlu şeklin en basit örneği sıradan bir sonsuz uzaydır, matematikçiler buna Öklid derler, ancak başka düz seçenekler de var.

Bu şekilleri hayal etmek kolay değil ama üç yerine iki boyutlu düşünerek sezgimizi birbirine bağlayabiliriz. Her zamanki Öklid düzlemine ek olarak, düzlemin bir parçasını kesip kenarlarını yapıştırarak başka düz şekiller oluşturabiliriz. Diyelim ki dikdörtgen bir kağıt parçası kestik ve karşı kenarlarını bantla bantladık. Üst kenarı alt kenara yapıştırırsanız, bir silindir elde edersiniz.

Sağ kenarı da sola yapıştırabilirsiniz - sonra bir çörek alırız (matematikçiler bu şekle simit derler).

Muhtemelen itiraz edeceksiniz: "Bir şey çok düz değil." Ve haklı olacaksın. Yassı torus hakkında biraz hile yapıyorduk. Bu şekilde gerçekten bir kağıt parçasından bir simit yapmaya çalışırsanız, bazı zorluklarla karşılaşırsınız. Silindir yapmak kolaydır, ancak uçlarını yapıştırmak işe yaramaz: kağıt, torusun iç çemberi boyunca buruşacaktır, ancak dış çember için yeterli olmayacaktır. Yani bir çeşit elastik malzeme almalısın. Ancak germe, uzunluğu ve açıları ve dolayısıyla tüm geometriyi değiştirir.

Geometriyi bozmadan sıradan bir üç boyutlu uzayda düz bir malzemeden gerçek bir pürüzsüz fiziksel simit inşa etmek imkansızdır. Geriye düz bir simit içinde yaşamanın nasıl bir şey olduğu hakkında soyut olarak spekülasyon yapmak kalıyor.

Evreni düz bir simit olan iki boyutlu bir varlık olduğunuzu hayal edin. Bu evrenin şekli düz bir kağıda dayandığından, alıştığımız tüm geometrik gerçekler aynı kalır - en azından sınırlı bir ölçekte: bir üçgenin açılarının toplamı 180 derecedir, vb. Ancak kırpma ve yapıştırma yoluyla küresel topolojideki değişiklikle birlikte yaşam çarpıcı biçimde değişecek.

Başlangıç olarak, simit, dönen ve başlangıç noktasına dönen düz çizgilere sahiptir.

Çarpık bir simit üzerinde kavisli görünürler, ancak düz bir simidin sakinlerine düz görünürler. Ve ışık düz bir çizgide hareket ettiğinden, doğrudan herhangi bir yöne bakarsanız, kendinizi arkadan görürsünüz.

Sanki orijinal kağıt parçasında, ışık sizden geçti, sol kenara gitti ve sonra bir video oyununda olduğu gibi sağda yeniden ortaya çıktı.

İşte bunu düşünmenin başka bir yolu: siz (veya bir ışık ışını) dört kenardan birini geçip kendinizi yeni bir odada buluyorsunuz, ama aslında bu aynı oda, sadece farklı bir bakış açısından. Böyle bir evrende dolaşırken, orijinal odanın sonsuz sayıda kopyasıyla karşılaşacaksınız.

Bu, nereye bakarsanız bakın, kendinizin sonsuz sayıda kopyasını alacağınız anlamına gelir. Bu bir tür ayna efektidir, sadece bu kopyalar tam olarak yansıma değildir.

Torusta, her biri ışığın size geri döndüğü bir veya başka bir döngüye karşılık gelir.

Aynı şekilde, bir küpün veya başka bir kutunun karşılıklı yüzlerini yapıştırarak düz üç boyutlu bir simit elde ederiz. Bu uzayı sıradan bir sonsuz uzayın içinde betimleyemeyeceğiz - kesinlikle sığmayacak - ama içindeki yaşam hakkında soyut olarak spekülasyon yapabileceğiz.

İki boyutlu bir halkadaki yaşam, iki boyutlu birbirinin aynı dikdörtgen odalar dizisine benziyorsa, üç boyutlu bir halkadaki yaşam, sonsuz üç boyutlu özdeş kübik odalar dizisine benzer. Siz de kendinize ait sonsuz sayıda kopya göreceksiniz.

Üç boyutlu simit, sonlu düz dünyanın on çeşidinden yalnızca biridir. Sonsuz düz dünyalar da vardır - örneğin, sonsuz bir silindirin üç boyutlu bir analogu. Bu dünyaların her birinin "yansımalar" ile kendi "kahkaha odası" olacaktır.

Evrenimiz düz formlardan biri olabilir mi?

Uzaya baktığımızda, kendi kopyalarımızın sonsuz sayıda olduğunu görmeyiz. Ne olursa olsun, düz şekilleri ortadan kaldırmak kolay değildir. Birincisi, hepsi Öklid uzayı ile aynı yerel geometriye sahiptir, bu nedenle onları yerel ölçümlerle ayırt etmek mümkün olmayacaktır.

Diyelim ki kendi kopyanızı bile gördünüz, bu uzak görüntü sadece sizin (veya bir bütün olarak galaksinizin) uzak geçmişte nasıl göründüğünü gösterir, çünkü ışık size ulaşana kadar uzun bir yol kat etti. Belki kendi kopyalarımızı bile görüyoruz - ama tanınmayacak kadar değişti. Ayrıca, farklı kopyalar sizden farklı uzaklıklardadır, dolayısıyla birbirine benzemezler. Ayrıca, o kadar uzakta ki hala hiçbir şey göremeyeceğiz.

Bu zorlukların üstesinden gelmek için, gökbilimciler genellikle kendilerinin kopyalarını değil, en uzaktaki görünür fenomendeki tekrar eden özellikleri ararlar - kozmik mikrodalga arka plan radyasyonu, bu Büyük Patlama'nın bir kalıntısıdır. Pratikte bu, eşleşen sıcak ve soğuk nokta desenlerine sahip daire çiftleri aramak anlamına gelir - bunların yalnızca farklı yönlerden aynı oldukları varsayılır.

Gökbilimciler, 2015 yılında Planck Uzay Teleskobu sayesinde böyle bir arama yaptılar. Düz bir 3B simit veya başka bir düz 3B şekil - sözde plaka - içinde görmeyi umduğumuz çakışan daire türleriyle ilgili verileri bir araya getirdiler, ancak hiçbir şey bulamadılar. Bu, eğer bir simit içinde yaşıyorsak, o zaman o kadar büyük görünüyor ki, tekrar eden tüm parçalar gözlemlenebilir evrenin dışında kalıyor.

Küresel şekil

İki boyutlu kürelere çok aşinayız - bu bir topun, bir portakalın veya Dünya'nın yüzeyidir. Peki ya evrenimiz üç boyutlu bir küre ise?

Üç boyutlu bir küre çizmek zordur, ancak basit bir benzetme ile açıklamak kolaydır. İki boyutlu bir küre, sıradan üç boyutlu uzayda bir merkez noktadan sabit bir uzaklıkta bulunan tüm noktaların bir koleksiyonuysa, üç boyutlu bir küre (veya "üç küre"), bazı noktalardan sabit bir uzaklıkta bulunan tüm noktaların bir toplamıdır. dört boyutlu uzayda merkezi nokta.

Üç küre içindeki yaşam, düz uzaydaki yaşamdan çok farklıdır. Bunu görselleştirmek için, iki boyutlu bir küre içinde iki boyutlu bir varlık olduğunuzu hayal edin. İki boyutlu küre tüm Evrendir, bu nedenle sizi çevreleyen üç boyutlu alanı göremezsiniz ve içine giremezsiniz. Bu küresel evrende ışık en kısa yoldan hareket eder: büyük dairelerde. Ancak bu daireler size doğrudan görünüyor.

Şimdi, iki boyutlu arkadaşınızla birlikte Kuzey Kutbu'nda takıldığınızı ve onun yürüyüşe çıktığını hayal edin. Uzaklaşmak, ilk başta, alıştığımız kadar hızlı olmasa da, sıradan dünyada olduğu gibi, görsel çevrenizde yavaş yavaş azalacaktır. Bunun nedeni, görsel çevreniz büyüdükçe arkadaşınızın giderek daha az yer kaplamasıdır.

Ancak arkadaşınız ekvatoru geçer geçmez garip bir şey olur: aslında uzaklaşmaya devam etmesine rağmen, boyutu artmaya başlar. Bunun nedeni, görsel çevrenizde işgal ettikleri yüzdenin artmasıdır.

Güney Kutbu'ndan üç metre uzakta, arkadaşınız sizden üç metre uzakta duruyormuş gibi görünecek.

Güney Kutbu'na ulaştıktan sonra, tüm görünür ufkunuzu tamamen dolduracaktır.

Ve Güney Kutbu'nda kimse olmadığında, görsel ufkunuz daha da garip olacak - o sizsiniz. Bunun nedeni, yaydığınız ışığın geri dönene kadar kürenin her tarafına yayılmasıdır.

Bu, 3B alemindeki yaşamı doğrudan etkiler. Üç kürenin her noktasının bir zıttı vardır ve orada bir cisim varsa onu tüm gökyüzünde görürüz. Orada hiçbir şey yoksa, kendimizi arka planda göreceğiz - sanki görünüşümüz bir balonun üzerine bindirilmiş, sonra ters çevrilmiş ve tüm ufka şişirilmiş gibi.

Ancak trisfer, küresel geometri için temel model olmasına rağmen, mümkün olan tek uzaydan çok uzaktır. Öklid uzayının parçalarını kesip yapıştırarak farklı düz modeller oluşturduğumuz için, uygun trisfer parçalarını yapıştırarak küresel olanları oluşturabiliriz. Bu yapıştırılmış şekillerin her biri, simit gibi, bir "kahkaha odası" etkisine sahip olacak, sadece küresel şekillerdeki odaların sayısı sınırlı olacaktır.

Ya evrenimiz küresel ise?

En narsistimiz bile arka planda kendimizi gece gökyüzü yerine görmüyoruz. Ama yassı simit örneğinde olduğu gibi, bir şeyi görmememiz, onun var olmadığı anlamına gelmez. Küresel bir evrenin sınırları, görünen dünyanın sınırlarından daha büyük olabilir ve arka plan basitçe görünmez.

Ancak bir simitten farklı olarak, yerel ölçümler kullanılarak küresel bir evren tespit edilebilir. Küresel şekiller, yalnızca küresel topolojide değil, aynı zamanda küçük geometride de sonsuz Öklid uzayından farklıdır. Örneğin, küresel geometrideki düz çizgiler büyük daireler olduğundan, oradaki üçgenler Öklid olanlardan daha "dolgun" ve açılarının toplamı 180 dereceyi aşıyor.

Temel olarak, kozmik üçgenleri ölçmek, evrenin ne kadar eğri olduğunu kontrol etmenin ana yoludur. Kozmik mikrodalga fonundaki her bir sıcak veya soğuk nokta için, üçgenin üç kenarını oluşturan çapı ve Dünya'dan uzaklığı bilinmektedir. Gece gökyüzünde noktanın oluşturduğu açıyı ölçebiliriz - ve bu üçgenin köşelerinden biri olacaktır. Daha sonra, kenar uzunluklarının kombinasyonunun ve açıların toplamının düzlemsel, küresel veya hiperbolik geometriye (üçgenin açılarının toplamının 180 dereceden az olduğu) karşılık gelip gelmediğini kontrol edebiliriz.

Bu hesaplamaların çoğu, diğer eğrilik ölçümleriyle birlikte, evrenin ya tamamen düz ya da ona çok yakın olduğunu varsayar. Bir araştırma ekibi yakın zamanda Planck Uzay Teleskobu'ndan gelen 2018 verilerinin bir kısmının küresel bir evren lehinde konuştuğunu öne sürdü, ancak diğer araştırmacılar sunulan kanıtların istatistiksel hataya atfedilebileceğini savundu.

hiperbolik geometri

Kendi kendine kapanan bir kürenin aksine, hiperbolik geometri veya negatif eğrilikli uzay dışa doğru açılır. Geniş kenarlı şapka, mercan resifi ve eyerin geometrisi budur. Hiperbolik geometrinin temel modeli, tıpkı düz Öklid gibi sonsuz uzaydır. Ancak hiperbolik bir şekil, düz olandan çok daha hızlı dışa doğru genişlediğinden, geometrisini bozmak istemiyorsak, iki boyutlu bir hiperbolik düzlemi bile sıradan Öklid uzayına sığdırmanın bir yolu yoktur. Ancak, Poincare diski olarak bilinen hiperbolik düzlemin çarpık bir görüntüsü var.

Bizim bakış açımıza göre, sınır çemberinin yakınındaki üçgenler, merkeze yakın olanlardan çok daha küçük görünüyor, ancak hiperbolik geometri açısından bakıldığında, tüm üçgenler aynıdır. Bu üçgenleri gerçekten aynı boyutta göstermeye çalışsak -belki elastik malzeme kullanarak ve her üçgeni sırayla şişirerek, merkezden dışa doğru hareket ederek- diskimiz geniş kenarlı bir şapkaya benzeyecek ve giderek daha fazla bükülecektir. Ve sınıra yaklaştıkça bu eğrilik kontrolden çıkacaktı.

Sıradan Öklid geometrisinde, bir dairenin çevresi yarıçapı ile doğru orantılıdır, ancak hiperbolik geometride daire yarıçapa göre katlanarak büyür. Hiperbolik diskin sınırına yakın bir üçgen yığını oluşur.

Bu özelliğinden dolayı matematikçiler hiperbolik uzayda kaybolmanın kolay olduğunu söylemeyi severler. Arkadaşınız normal Öklid uzayında sizden uzaklaşırsa, uzaklaşmaya başlayacaktır, ancak oldukça yavaştır, çünkü görsel çevreniz o kadar hızlı büyümez. Hiperbolik uzayda, görsel çevreniz katlanarak genişler, böylece arkadaşınız kısa sürede sonsuz derecede küçük bir nokta haline gelir. Bu nedenle, rotasını takip etmediyseniz, onu daha sonra bulmanız pek olası değildir.

Hiperbolik geometride bile, bir üçgenin açılarının toplamı 180 dereceden azdır - örneğin, Poincaré disk mozaiğindeki bazı üçgenlerin açılarının toplamı sadece 165 derecedir.

Yanları dolaylı gibi görünüyor, ancak bunun nedeni hiperbolik geometriye çarpıtıcı bir mercekten bakıyor olmamız. Poincaré diskinin sakinleri için, bu eğriler aslında düz çizgilerdir, bu nedenle A noktasından B noktasına (her ikisi de kenarda) ulaşmanın en hızlı yolu merkeze doğru bir kesimdir.

Poincare diskinin üç boyutlu bir benzerini yapmanın doğal bir yolu var - üç boyutlu bir top alın ve onu Poincare diskindeki üçgenler gibi sınır küresine yaklaştıkça yavaş yavaş azalan üç boyutlu şekillerle doldurun. Ve düzlemlerde ve kürelerde olduğu gibi, üç boyutlu hiperbolik bir topun uygun parçalarını kesip yüzlerini yapıştırarak bir dizi başka üç boyutlu hiperbolik uzay yaratabiliriz.

Peki, Evrenimiz hiperbolik mi?

Dar üçgenleri ve katlanarak büyüyen daireleriyle hiperbolik geometri, etrafımızdaki uzaya hiç benzemiyor. Aslında, daha önce de belirttiğimiz gibi, kozmolojik ölçümlerin çoğu düz bir evrene yönelir.

Ancak küresel veya hiperbolik bir dünyada yaşadığımızı göz ardı edemeyiz, çünkü her iki dünyanın küçük parçaları neredeyse düz görünüyor. Örneğin, küresel geometride küçük üçgenlerin açılarının toplamı 180 dereceden biraz fazladır ve hiperbolik geometride sadece biraz daha azdır.

Bu yüzden eskiler Dünya'nın düz olduğunu düşündüler - Dünya'nın eğriliği çıplak gözle görülemez. Küresel veya hiperbolik şekil ne kadar büyük olursa, parçalarının her biri o kadar düz olur, bu nedenle, Evrenimiz aşırı derecede büyük küresel veya hiperbolik bir şekle sahipse, görünen kısmı düze o kadar yakındır ki eğriliği ancak ultra hassas aletlerle tespit edilebilir, ve onları henüz icat etmedik. …