Fraktallar nedir: matematiğin ve sonsuzluğun güzelliği

2024 Yazar: Seth Attwood | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-16 16:18

Fraktallar bir asırdır biliniyor, iyi çalışılmış ve yaşamda sayısız uygulamaları var. Bununla birlikte, bu fenomen çok basit bir fikre dayanmaktadır: güzellik ve çeşitlilikte sonsuz çok sayıda şekil, sadece iki işlem kullanılarak - kopyalama ve ölçekleme - nispeten basit yapılardan elde edilebilir.

Bir ağaç, bir deniz kıyısı, bir bulut veya elimizdeki kan damarlarının ortak noktası nedir? İlk bakışta, tüm bu nesnelerin ortak hiçbir yanı yokmuş gibi görünebilir. Bununla birlikte, aslında, listelenen tüm nesnelerin doğasında bulunan bir yapı özelliği vardır: kendilerine benzerler. Daldan ve ağacın gövdesinden, onlardan daha küçük dallar vardır - hatta daha küçük olanlar, vb., yani dal bütün ağaç gibidir.

Dolaşım sistemi benzer şekilde düzenlenmiştir: arteriyoller arterlerden ayrılır ve onlardan oksijenin organlara ve dokulara girdiği en küçük kılcal damarlar. Deniz kıyısının uydu görüntülerine bakalım: koyları ve yarımadaları göreceğiz; bir de kuşbakışı bakalım: koylar ve burunlar göreceğiz; Şimdi sahilde durduğumuzu ve ayaklarımıza baktığımızı düşünelim: Her zaman suya diğerlerinden daha fazla taşan çakıl taşları vardır.

Yani yakınlaştırıldığında kıyı şeridi kendisine benzer kalıyor. Amerikalı (Fransa'da yetiştirilmiş olsa da) matematikçi Benoit Mandelbrot, nesnelerin bu özelliğini fraktallık olarak adlandırdı ve bu tür nesnelerin kendileri - fraktallar (Latin fraktusundan - kırık).

Fraktal nedir?

Bu kavramın kesin bir tanımı yoktur. Bu nedenle "fraktal" kelimesi matematiksel bir terim değildir. Tipik olarak, bir fraktal, aşağıdaki özelliklerden bir veya daha fazlasını karşılayan geometrik bir şekildir: • Herhangi bir büyütmede karmaşık bir yapıya sahiptir (örneğin, herhangi bir parçası en basit geometrik şekil olan düz bir çizginin aksine - bir çizgi segmenti). • (yaklaşık olarak) kendine benzer. • Topolojik olandan daha büyük olan kesirli bir Hausdorff (fraktal) boyutuna sahiptir. • Özyinelemeli prosedürlerle oluşturulabilir.

Geometri ve Cebir

19. ve 20. yüzyılların başında fraktalların incelenmesi sistematik olmaktan ziyade epizodikti, çünkü daha önceki matematikçiler genel olarak genel yöntemler ve teoriler kullanarak araştırmaya uygun "iyi" nesneler üzerinde çalıştılar. 1872'de Alman matematikçi Karl Weierstrass, hiçbir yerde türevi alınamayan sürekli bir fonksiyon örneği oluşturur. Ancak, yapısı tamamen soyuttu ve algılanması zordu.

Bu nedenle, 1904'te İsveçli Helge von Koch, hiçbir yerde teğeti olmayan ve çizilmesi oldukça basit olan sürekli bir eğri icat etti. Bir fraktalın özelliklerine sahip olduğu ortaya çıktı. Bu eğrinin varyantlarından birine "Koch kar tanesi" denir.

Figürlerin kendi kendine benzerlik fikirleri, Benoit Mandelbrot'un gelecekteki akıl hocası Fransız Paul Pierre Levy tarafından alındı. 1938'de, başka bir fraktal olan Lévy C-eğrisini tanımlayan "Bütüne benzer parçalardan oluşan düzlem ve uzaysal eğriler ve yüzeyler" adlı makalesini yayınladı. Yukarıdaki fraktalların tümü, şartlı olarak bir yapıcı (geometrik) fraktal sınıfına atfedilebilir.

Başka bir sınıf, Mandelbrot kümesini içeren dinamik (cebirsel) fraktallardır. Bu yöndeki ilk çalışmalar 20. yüzyılın başında başlamış ve Fransız matematikçi Gaston Julia ve Pierre Fatou'nun isimleriyle ilişkilendirilmiştir.1918'de, Julia'nın karmaşık rasyonel fonksiyonların yinelemelerine ayrılmış neredeyse iki yüz sayfalık hatırası, Julia'nın kümelerinin tanımlandığı yayınlandı - Mandelbrot kümesiyle yakından ilişkili bütün bir fraktal ailesi. Bu eser Fransız Akademisi ödülüne layık görüldü, ancak tek bir illüstrasyon içermediğinden, keşfedilen nesnelerin güzelliğini takdir etmek imkansızdı.

Bu çalışmanın Julia'yı zamanın matematikçileri arasında yüceltmesine rağmen, çabucak unutuldu. Bilgisayarlar ancak yarım yüzyıl sonra yeniden ilgi odağı oldu: Fraktallar dünyasının zenginliğini ve güzelliğini görünür kılan onlardı.

fraktal boyutlar

Bildiğiniz gibi bir geometrik şeklin boyutu (ölçü sayısı), bu şekil üzerinde bulunan bir noktanın konumunu belirlemek için gereken koordinat sayısıdır.

Örneğin, bir eğri üzerindeki bir noktanın konumu bir koordinatla, bir yüzeyde (mutlaka bir düzlem değil) iki koordinatla, üç boyutlu uzayda üç koordinatla belirlenir.

Daha genel bir matematiksel bakış açısından, boyutu şu şekilde tanımlayabilirsiniz: tek boyutlu (topolojik bir bakış açısından) nesneler (segment) için doğrusal boyutlardaki bir artış, diyelim ki iki kez, boyutta bir artışa yol açar. (uzunluk) iki kez, iki boyutlu (kare) için doğrusal boyutlardaki aynı artış, boyutta (alan) 4 kat, üç boyutlu (küp) için - 8 kat artışa yol açar. Yani, "gerçek" (hausdorff olarak adlandırılan) boyut, bir nesnenin "boyutundaki" bir artışın logaritmasının, onun doğrusal boyutundaki bir artışın logaritmasına oranı olarak hesaplanabilir. Yani, D segmenti için = log (2) / log (2) = 1, düzlem için D = log (4) / log (2) = 2, hacim için D = log (8) / log (2) = 3.

Şimdi, birim segmentin üç eşit parçaya bölündüğü ve orta aralığın bu segment olmadan bir eşkenar üçgen ile değiştirildiği yapı için Koch eğrisinin boyutunu hesaplayalım. Minimum segmentin lineer boyutlarında üç kat artışla, Koch eğrisinin uzunluğu log (4) / log (3) ~ 1, 26'da artar. Yani, Koch eğrisinin boyutu kesirlidir!

Bilim ve sanat

1982'de Mandelbrot'un, yazarın fraktallar hakkında o sırada mevcut olan hemen hemen tüm bilgileri toplayıp sistemleştirdiği ve kolay ve erişilebilir bir şekilde sunduğu "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabı yayınlandı. Mandelbrot sunumunda ana vurguyu hantal formüllere ve matematiksel yapılara değil, okuyucuların geometrik sezgilerine yaptı. Yazarın monografın bilimsel bileşenini ustaca seyrelttiği bilgisayar tarafından oluşturulan çizimler ve tarihi hikayeler sayesinde kitap en çok satanlar haline geldi ve fraktallar halk tarafından bilinir hale geldi.

Matematikçi olmayanlar arasındaki başarıları, büyük ölçüde, bir lise öğrencisinin anlayabileceği çok basit yapılar ve formüllerin yardımıyla, şaşırtıcı karmaşıklık ve güzellikteki görüntülerin elde edilmesinden kaynaklanmaktadır. Kişisel bilgisayarlar yeterince güçlü hale geldiğinde, sanatta bütün bir eğilim bile ortaya çıktı - fraktal resim ve hemen hemen her bilgisayar sahibi bunu yapabilirdi. Artık internette, bu konuya adanmış birçok siteyi kolayca bulabilirsiniz.

Savaş ve Barış

Yukarıda belirtildiği gibi, fraktal özelliklere sahip doğal nesnelerden biri kıyı şerididir. İlginç bir hikaye onunla, daha doğrusu, Mandelbrot'un bilimsel makalesinin temelini oluşturan uzunluğunu ölçme girişimi ile bağlantılıdır ve aynı zamanda "Doğanın Fraktal Geometrisi" adlı kitabında da açıklanmıştır.

Bu, çok yetenekli ve eksantrik bir matematikçi, fizikçi ve meteorolog olan Lewis Richardson tarafından sahnelenen bir deneydir. Araştırmasının yönlerinden biri, iki ülke arasında bir silahlı çatışmanın nedenleri ve olasılığının matematiksel bir tanımını bulma girişimiydi. Dikkate aldığı parametreler arasında, savaşan iki ülkenin ortak sınırının uzunluğu da vardı. Sayısal deneyler için veri toplarken, farklı kaynaklarda İspanya ve Portekiz arasındaki ortak sınır hakkındaki verilerin çok farklı olduğunu buldu.

Bu onu aşağıdakileri keşfetmeye yöneltti: Bir ülkenin sınırlarının uzunluğu, onları ölçtüğümüz cetvele bağlıdır. Ölçek ne kadar küçük olursa, kenarlık o kadar uzun olur. Bunun nedeni, daha yüksek bir büyütme ile, daha önce ölçümlerin pürüzlülüğü nedeniyle göz ardı edilen daha fazla kıyı kıvrımının dikkate alınmasının mümkün hale gelmesidir. Ve ölçekteki her artışla, çizgilerin daha önce hesaba katılmamış kıvrımları açılırsa, o zaman sınırların uzunluğunun sonsuz olduğu ortaya çıkar! Doğru, gerçekte bu olmaz - ölçümlerimizin doğruluğunun sınırlı bir sınırı vardır. Bu paradoksa Richardson etkisi denir.

Yapıcı (geometrik) fraktallar

Genel durumda yapıcı bir fraktal oluşturmaya yönelik algoritma aşağıdaki gibidir. Öncelikle iki uygun geometrik şekle ihtiyacımız var, bunlara taban ve parça diyelim. İlk aşamada, gelecekteki fraktalın temeli tasvir edilmiştir. Daha sonra bazı parçaları uygun bir ölçekte alınan bir parça ile değiştirilir - bu, inşaatın ilk yinelemesidir. Sonra, ortaya çıkan şekil bazı parçaları tekrar bir parçaya benzer şekillere dönüştürür, vb. Bu işleme süresiz olarak devam edersek, limitte bir fraktal elde ederiz.

Örnek olarak Koch eğrisini kullanarak bu süreci ele alalım. Koch eğrisinin temeli olarak, herhangi bir eğri alabilirsiniz ("Koch kar tanesi" için bu bir üçgendir). Ancak kendimizi en basit durumla sınırlayacağız - bir segment. Parça, şeklin üst kısmında gösterilen kesik bir çizgidir. Algoritmanın ilk yinelemesinden sonra, bu durumda, ilk segment parça ile çakışacak, ardından onu oluşturan segmentlerin her biri, bir parçaya benzer kesikli bir çizgi ile değiştirilecektir, vb. Şekil, ilk dört adımını göstermektedir. bu süreç.

Matematik dilinde: dinamik (cebirsel) fraktallar

Bu tür fraktallar, doğrusal olmayan dinamik sistemlerin (dolayısıyla adı) incelenmesinde ortaya çıkar. Böyle bir sistemin davranışı, karmaşık bir doğrusal olmayan fonksiyon (polinom) f (z) ile tanımlanabilir. Karmaşık düzlemde bir z0 başlangıç noktası alın (kenar çubuğuna bakın). Şimdi, karmaşık düzlemde, aşağıdakilerin her biri bir öncekinden elde edilen böyle sonsuz bir sayı dizisini düşünün: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn)).

Başlangıç noktası z0'a bağlı olarak, böyle bir dizi farklı davranabilir: n -> ∞ gibi sonsuzluğa yönelir; bir son noktaya yakınsama; döngüsel olarak bir dizi sabit değer alın; daha karmaşık seçenekler de mümkündür.

Karışık sayılar

Karmaşık bir sayı, iki bölümden oluşan bir sayıdır - gerçek ve hayali, yani x + iy resmi toplamı (burada x ve y gerçek sayılardır). ben sözde. sanal birim, yani, i ^ 2 = -1 denklemini sağlayan bir sayı. Temel matematiksel işlemler karmaşık sayılar üzerinden tanımlanır - toplama, çarpma, bölme, çıkarma (sadece karşılaştırma işlemi tanımlanmaz). Karmaşık sayıları görüntülemek için, genellikle geometrik bir temsil kullanılır - düzlemde (karmaşık olarak adlandırılır), gerçek kısım apsis üzerine ve hayali kısım ordinat üzerine yerleştirilir, karmaşık sayı ise Kartezyen ile bir noktaya karşılık gelir. x ve y koordinatları.

Böylece, karmaşık düzlemin herhangi bir z noktası, f (z) fonksiyonunun yinelemeleri sırasında kendi davranış karakterine sahiptir ve tüm düzlem parçalara bölünür. Bu durumda, bu parçaların sınırları üzerinde bulunan noktalar aşağıdaki özelliğe sahiptir: keyfi olarak küçük bir yer değiştirme için, davranışlarının doğası keskin bir şekilde değişir (bu noktalara çatallanma noktaları denir). Böylece, belirli bir davranış tipine sahip nokta kümelerinin yanı sıra çatallanma noktaları kümelerinin de genellikle fraktal özelliklere sahip olduğu ortaya çıkıyor. Bunlar f (z) fonksiyonu için Julia kümeleridir.

ejderha ailesi

Tabanı ve parçayı değiştirerek inanılmaz çeşitlilikte yapıcı fraktallar elde edebilirsiniz.

Ayrıca üç boyutlu uzayda da benzer işlemler yapılabilir. Hacimsel fraktal örnekleri Menger süngeri, Sierpinski piramidi ve diğerleridir.

Ejderha ailesine yapıcı fraktallar da denir. Bazen kaşiflerin adıyla "Otoyol-Harter'ın ejderhaları" olarak adlandırılırlar (biçimlerinde Çin ejderhalarına benzerler). Bu eğriyi çizmenin birkaç yolu vardır. Bunlardan en basit ve en sezgisel olanı şudur: yeterince uzun bir kağıt şeridi almanız (kağıt ne kadar ince olursa o kadar iyi) ve ikiye katlamanız gerekir. Ardından, ilk kez aynı yönde iki kez bükün.

Birkaç tekrardan sonra (genellikle beş veya altı kattan sonra, şerit düzgün bir şekilde bükülemeyecek kadar kalınlaşır), şeridi geriye doğru bükmeniz ve katlarda 90˚ açı oluşturmaya çalışmanız gerekir. Ardından ejderhanın eğrisi profilde ortaya çıkacaktır. Elbette bu, tüm fraktal nesneleri tasvir etme girişimlerimiz gibi yalnızca bir yaklaşıklık olacaktır. Bilgisayar, bu süreçte daha birçok adımı tasvir etmenizi sağlar ve sonuç çok güzel bir rakamdır.

Mandelbrot seti biraz farklı bir şekilde inşa edilmiştir. fc (z) = z ^ 2 + c fonksiyonunu düşünün, burada c bir karmaşık sayıdır. Bu fonksiyonun z0 = 0 ile bir dizisini oluşturalım, c parametresine bağlı olarak sonsuza kadar uzaklaşabilir veya sınırlı kalabilir. Ayrıca, bu dizinin sınırlandığı tüm c değerleri Mandelbrot kümesini oluşturur. Mandelbrot'un kendisi ve bu kümenin birçok ilginç özelliğini keşfeden diğer matematikçiler tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir.

Julia ve Mandelbrot kümelerinin tanımlarının birbirine benzediği görülmektedir. Aslında, bu iki küme yakından ilişkilidir. Yani, Mandelbrot kümesi, Julia kümesinin fc (z) bağlı olduğu karmaşık parametre c'nin tüm değerleridir (bazı ek koşullarla iki ayrık parçaya bölünemezse bir küme bağlı olarak adlandırılır).

Fraktallar ve yaşam

Bugün, fraktal teorisi, insan faaliyetinin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Araştırma için tamamen bilimsel bir nesneye ve daha önce bahsedilen fraktal resme ek olarak, bilgi teorisinde fraktallar grafik verileri sıkıştırmak için kullanılır (burada fraktalların kendi kendine benzerlik özelliği esas olarak kullanılır - sonuçta, küçük bir parçayı hatırlamak için). parçaların geri kalanını alabileceğiniz bir çizim ve dönüşümler, tüm dosyayı depolamaktan çok daha az bellek gerekir).

Fraktalı tanımlayan formüllere rastgele pertürbasyonlar eklenerek, bazı gerçek nesneleri çok makul bir şekilde ileten stokastik fraktallar elde edilebilir - kabartma elementler, su kütlelerinin yüzeyi, bazı bitkiler, fizikte, coğrafyada ve bilgisayar grafiklerinde başarıyla kullanılır. simüle edilmiş nesnelerin gerçek nesnelerle benzerliği. Elektronikte, fraktal bir şekle sahip antenler üretilir. Az yer kaplayarak oldukça yüksek kaliteli sinyal alımı sağlarlar.

Ekonomistler, döviz kuru eğrilerini (Mandelbrot tarafından keşfedilen bir özellik) tanımlamak için fraktallar kullanır. Bu, şaşırtıcı derecede güzel ve çeşitli fraktal dünyasına yapılan bu küçük geziyi sonlandırıyor.